Question

【題目】已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，其中m是常數．

（Ⅰ）判斷f（x）的單調性，并用定義證明；

（Ⅱ）若對任意x∈[﹣3，1]，有f（tx）+f（2t﹣1）≤0恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增函數，見解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據函數為奇函數得到m＝1，再設x1＜x2，再計算得到證明.

（Ⅱ）利用函數奇偶性變換得到f（tx）≤f（1﹣2t）得到（x+2）t≤1，得到

計算得到答案.

（Ⅰ）f（x）是R上的增函數，證明如下：

由f（x）是奇函數，所以f（x）+f（﹣x）＝0，

∴，化為∴m＝1，

∴f（x）＝ex﹣e﹣x，

設x1＜x2，則，

由于y＝ex是增函數，所以，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）是R上的增函數；

（Ⅱ）由于f（x）是R上的奇函數，所以由f（tx）+f（2t﹣1）≤0恒成立

可得f（tx）≤﹣f（2t﹣1）＝f（1﹣2t），

∴tx≤1﹣2t，（x+2）t≤1，

當x∈[﹣3，1]時，上式恒成立，則，解得，

∴實數t的取值范圍為