Question

【題目】已知定義在區間上的函數滿足，且當時，.

（1）求的值；

（2）證明：為單調增函數；

（3）若，求在上的最值.

Answer 1

【答案】（1）f（1）=0．（2）見解析（3）最小值為﹣2，最大值為3．

【解析】試題分析：（1）利用賦值法進行求 的值；
（2）根據函數的單調性的定義判斷在上的單調性，并證明．
（3）根據函數單調性的性質，并利用賦值法可得函數的最值．

試題解析：（1）∵函數f（x）滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x2=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．

（2）證明：（2）設x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，則＞1，

∴f（）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數．

（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函數．

若，則f（）+f（）=f（）=﹣2，

即f（5）=f（1）=f（）+f（5）=0，

即f（5）=1，

則f（5）+f（5）=f（25）=2，

f（5）+f（25）=f（125）=3，

即f（x）在上的最小值為﹣2，最大值為3．