Question

【題目】已知橢圓E: 的左焦點為,且過點.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)設直線與橢圓E交于兩點，與的交點為，且滿足.

①若,求： 的值；

②設點是橢圓E的左頂點，點關于軸的對稱點為點，試探究：在線段上是否存在一個定點，使得直線過定點，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ②故存在使得直線過定點。

【解析】試題分析：（1）由點在橢圓上及焦點坐標，利用定義，可得，進而得方程；

（2）①設, ，直線與橢圓聯立得: ，由得，進而利用韋達定理求解即可；

②假設存在使得直線過定點。則，由，利用坐標表示，結合韋達定理求解即可.

試題解析：

(Ⅰ)因為焦點為， ，又橢圓過，

取橢圓的右焦點， ，由得，

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）①設, ,

因為直線與橢圓交于兩點，

由得:

得, ,（1）

（2）

由（1）（2）解得：

符合,所以,

解得,

②假設存在使得直線過定點。則

則

又， 即

因為， ，

即得：

故存在使得直線過定點。