Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanC= ，c=﹣3bcosA．
（1）求tanB的值；
（2）若c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，

∵sinC=sin（A+B），

∴sin（A+B）=﹣3sinBcosA，sinAcosB+cosAsinB=﹣3sinBcosA，

即sinAcoB=﹣4sinBcosA，

∵cosAcoB≠0，

∴tanA=﹣4tanB，

又tanC=﹣tan（A+B）= = = ，解得tanB=

（2）解：由（1）知，sinA= ，sinB= ，sinC= ，

∵a= = ，

∴S△ABC= acsinB=

【解析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知可得sinAcoB=﹣4sinBcosA，結合cosAcoB≠0，利用同角三角函數基本關系式，兩角和的正切函數公式即可解得得解tanB的值．（2）由（1）利用同角三角函數基本關系式可求sinA= ，sinB= ，sinC= ，利用正弦定理可求a，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:．