Question

【題目】某市環保部門對市中心每天的環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染指數與時刻（時）的關系為，，其中是與氣象有關的參數，且．若用每天的最大值為當天的綜合污染指數，并記作．

（1）令，，求的取值范圍；

（2）求的表達式，并規定當時為綜合污染指數不超標，求當在什么范圍內時，該市市中心的綜合污染指數不超標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）當時，得到；當時，，利用對勾函數性質可求得，取并集得到結果；

（2）由（1）可將化為，得到的單調性后，可知最大值在或處取得；分別在和兩種情況下確定的最大值，即，由得到不等式，解不等式求得結果.

（1）當時，

當時，

（當且僅當，即時取等號），又時，

綜上所述：

（2）由（1）知：令，則，

當時，

當時，單調遞減；時，單調遞增

又，

①當時，

由得：

②當時，

由得：

綜上所述：當時，綜合污染指數不超標