【題目】已知函數
.
（1）試討論函數
的導函數
的零點個數；
（2）若對任意的
，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）先對原函數求導，得到
，再分類討論即可得到單調性與極值，從而判斷出導函數
的零點個數；
（2）設
研究函數的單調性與最值即可.
（1）解法一：由題得
∴
當
時， 是減函數
且
，
∴此時有且只有一個零點
當
時，
，此時沒有零點
當
時
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
∴
（ⅰ）若
則
此時，函數沒有零點
（ⅱ）若
則
此時，函數有且只有
一個零點
（ⅲ）若
則
且，下面證明存在
使
①取
下面證明
，
證明：設
則
，
∴
在
上恒負
∴
在上是減函數
∴在上，恒有 
∴在上是減函數
∴
，得證
或②取
下面證明
，
證明：設
則
∴
在
上是減函數
∴
，得證
∴此時，函數有且只有兩個零點
綜上，函數的零點個數
解法二 由題得
當時，，此時沒有零點
當
時
導函數的零點個數等于函數
與函數
圖象的交點個數
設
則
當
時，
；當
時，
∴
在
上單調遞增，在
上單調遞減
∴
又∵當
時，
，當
時，
（即
，
）
∴圖象如圖
∴當
即時，有1個交點；當
即/span>時，有2個交點；當
即
時，有1個交點；當
即時，沒有交點.
綜上，函數的零點個數
（2）設
∴
∴
題設成立的一個必要條件是
即
當時
，
∴
在上單調遞減
又∵在
處連續（連續性在解題過程中可不作要求，下面第三行同）
∴，
從而
在上單調遞減
∴
，
∴實數
的取值范圍為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直接坐標系
中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為
.
（I）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，
），判斷點P與直線l的位置關系；
（II）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在4件產品中，有一等品2件，二等品1件（一等品與二等品都是正品），次品1件，現從中任取2件，則下列說法正確的是（ ）
A.兩件都是一等品的概率是
B.兩件中有1件是次品的概率是
C.兩件都是正品的概率是
D.兩件中至少有1件是一等品的概率是
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為抑制房價過快上漲和過度炒作，各地政府響應中央號召，因地制宜出臺了系列房價調控政策．某市為擬定出臺“房產限購的年齡政策”.為了解人們對“房產限購年齡政策”的態度，對年齡在
歲的人群中隨機調查100人，調查數據的頻率分布直方圖和支持“房產限購”的人數與年齡的統計結果如下：
年齡 |
|
|
|
|
|
支持的人數 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
（1）由以上統計數據填
列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為以44歲為分界點的不同人群對“房產限購年齡政策”的支持度有差異；
44歲以下 | 44歲以上 | 總計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
總計 |
（2）若以44歲為分界點，從不支持“房產限購”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加政策聽證會．現從這8人中隨機抽2人．
①抽到1人是44歲以下時，求抽到的另一人是44歲以上的概率．
②記抽到44歲以上的人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望．
參考數據：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
，其中
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中,已知直線
的參數方程為
（
為參數）.在以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸,且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中,曲線
的極坐標方程是
.
（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設點
.若直與曲線相交于兩點
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率等于
.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了了解學生使用手機的情況，分別在高一和高二兩個年級各隨機抽取了100名學生進行調查.下面是根據調查結果繪制的學生日均使用手機時間的頻數分布表和頻率分布直方圖，將使用手機時間不低于80分鐘的學生稱為“手機迷”.
（I）將頻率視為概率，估計哪個年級的學生是“手機迷”的概率大？請說明理由.
（II）在高二的抽查中，已知隨機抽到的女生共有55名，其中10名為“手機迷”.根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料你有多大的把握認為“手機迷”與性別有關？
非手機迷 | 手機迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
附：隨機變量
（其中
為樣本總量）.
參考數據 |
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試；方式二：周六一天培訓4小時，周日測試．公司有多個班組，每個班組60人，現任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數如下表，其中第一、二周達標的員工評為優秀．
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲組 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙組 | 8 | 16 | 20 | 16 |
（1）在甲組內任選兩人，求恰有一人優秀的概率；
（2）每個員工技能測試是否達標相互獨立，以頻率作為概率.
（i）設公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為
、
，求、的分布列，若選平均受訓時間少的，則公司應選哪種培訓方式？
（ii）按（i）中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優秀的概率．
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