Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，中點，為線段上的一個動點.

（1）證明：平面；

（2）當二面角的余弦值為時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析

【解析】

（1）取中點，連，可證四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結論；

（2）不妨設，如下圖建立空間直角坐標系，設，得到坐標， 求出平面的法向量坐標，取平面法向量為，根據已知求出，證明即可.

（1）如圖，取中點，連，

因為是的中點，所以，

在直三棱柱中，，

因為是中點，所以，

所以四邊形為平行四邊形，，

因為平面，平面，

所以平面；

（2）不妨設，如圖建立空間直角坐標系，

設，，，，

所以，

設平面的一個法向量為，

則，即，令，

所以平面的一個法向量，

平面的一個法向量，

所以，

此時，，

所以，即.