Question

【題目】在新冠病毒肆虐全球的大災難面前，中國全民抗疫，眾志成城，取得了階段性勝利，為世界彰顯了榜樣力量.為慶祝戰疫成功并且盡快恢復經濟，某網絡平臺的商家進行有獎促銷活動，顧客購物消費每滿600元，可選擇直接返回60元現金或參加一次答題返現，答題返現規則如下：電腦從題庫中隨機選出一題目讓顧客限時作答，假設顧客答對的概率都是0.4，若答對題目就可獲得120元返現獎勵，若答錯，則沒有返現.假設顧客答題的結果相互獨立.

（1）若某顧客購物消費1800元，作為網絡平臺的商家，通過返現的期望進行判斷，是希望顧客直接選擇返回180元現金，還是選擇參加3次答題返現？

（2）若某顧客購物消費7200元并且都選擇參加答題返現，請計算該顧客答對多少次概率最大，最有可能返回多少現金？

Answer 1

【答案】（1）商家希望顧客參加答題返現；（2）該顧客答對5次的概率最大，最有可能返回元現金.

【解析】

（1）設表示顧客在三次答題中答對的次數，利用二項分布計算可得，從而可得顧客在三次答題中可獲得的返現金額的期望為元，從而可得商家的正確選擇.

（2）由已知顧客可以參加12次答題返現，設其中答對的次數為.利用二項分布可得，，1，2，…，12，由可得，從而可得該顧客答對5次的概率最大，故可得最有可能返回的現金額.

（1）設表示顧客在三次答題中答對的次數，

由于顧客每次答題的結果是相互獨立的，則，.

所以.

由于顧客每答對一題可獲得120元返現獎勵，因此該顧客在三次答題中可獲得的返現金額的期望為元.由于顧客參加三次答題返現的期望144元小于直接返現的180元，所以商家希望顧客參加答題返現..

（2）由已知顧客可以參加12次答題返現，設其中答對的次數為.

由于顧客答題的結果是相互獨立的，則，.

，，1，2，…，12

假設顧客答對次的概率最大，

則有

解得，則，所以，所以最大.

所以該顧客答對5次的概率最大，最有可能返回元現金.