Question

【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為、，，點A為橢圓C上異于左右頂點的任意一點，A關于原點O的對稱點為B，，且．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若是A關于x軸的對稱點，設點，連接NA，直線NA與橢圓C相交于點E，直線與x軸相交于點M，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（1）根據橢圓的對稱性可得，再由，可解得，即得；（2）設出直線方程和，兩點坐標，由對稱性可得的坐標，即得直線的方程，令，將直線NA的方程和橢圓方程聯立，再利用韋達定理，對其進行化簡，即得M的坐標.

（Ⅰ）由橢圓的對稱性可知，∴．故，得，又，，，．∴橢圓C的標準方程為

（Ⅱ）顯然，直線NA的斜率存在，且不為0，設直線NA的方程為．

代入橢圓C的方程，得．

由題知，，得，

設，，則，，．

∴直線的方程為，令，可得

．

∴