Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數，當且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時在遞增；當時增區間為；減區間為.（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據函數解析式，求得定義域及導函數，討論的取值情況，即可判斷導函數符號，進而可得函數的單調區間；

（2）將代入解析式，并將兩個解析式代入不等式化簡可得.當易證不等式成立，當時，結合可將不等式化為，構造函數，并求得，再構造函數，并求得.根據零點存在定理可證明存在使得，即在上單調遞減，在上單調遞增；由，，可證明的單調情況，進而可知在處取得最小值，即證明即可證明成立.

（1）函數.

函數定義域為，

當時，可知，所以在單調遞增；

當時，令，

解得，

所以當時，；

當時；

故此時單調增區間為；單調減區間為；

綜上所述：當時在遞增；

當時增區間為；減區間為.

（2）證明：將代入函數解析式可得，，定義域為，

要證，即證，

①當時，，，不等式顯然成立，

②當時，，結合已知可得，，

于是轉化為，即證，

令，則，

令，則，且在上單調遞增，

∵，，存在使得，即，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，

故當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

∴，

故，得證.