Question

【題目】已知首項為1的正項數列{an}滿足an+12+an2＜ ，n∈N* ， Sn為數列{an}的前n項和．
（1）若a2= ，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；
（2）設數列{an}是公比為q的等比數列，若 ＜Sn+1＜2Sn ， n∈N* ， 求q的取值范圍；
（3）若a1 ， a2 ， …，ak（k≥3）成等差數列，且a1+a2+…+ak=120，求正整數k的最小值，以及k取最小值時相應數列a1 ， a2 ， …，ak ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵首項為1的正項數列{an}滿足an+12+an2＜ ，n∈N*，化為（2an+1﹣an）（an+1﹣2an）＜0，

∴ ＜2．

又a2= ，a3=x，a4=4，

∴ ， ，

解得：2＜x＜3．

∴x的取值范圍是（2，3）

（2）解：由于首項為1的正項數列{an}，

∵ ＜2．∴ ．

①q=1時，n=1時不滿足： ＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，因此q≠1．

②可得 ＜2 ，

＜q＜1時，化為2qn+1﹣qn＜1，qn+1﹣2qn+1＞0，由于qn（2q﹣1）＜1，因此2qn+1﹣qn＜1恒成立；由qn＜q，可得q2n＜qn+1，∴qn ，∴2qn ＜1+qn+1，因此qn+1﹣2qn+1＞0恒成立，可得： ＜q＜1．

2＞q＞1時，化為2qn+1﹣qn﹣1＞0，qn+1﹣2qn+1＜0，無解，舍去．

綜上可得： ＜q＜1

（3）解：設首項為1的正項數列{an}的公差為d，d≥0，

由 ＜2，可得 ＜ ＜2，

化為1+（n﹣1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n﹣1）d]，

n=1時，0≤d＜1；n=2時，d≥0；

n≥3時，d≥0．

綜上可得：0≤d＜1．

∵a1，a2，…，ak（k≥3）成等差數列，a1+a2+…+ak=120，

∴k+ d=120，

k=1時，不成立，舍去．

k≥2時，解得d= ，

∵0≤d＜1．

∴0≤ ＜1．

解得：15＜k≤120．

∴滿足條件的正整數k的最小值為16，此時d= ，

相應數列的通項公式為：an=1+ （n﹣1）= ．

數列為：1，

【解析】（1）首項為1的正項數列{an}滿足an+12+an2＜ ，n∈N* ， 化為（2an+1﹣an）（an+1﹣2an）＜0，解得： ＜2．又a2= ，a3=x，a4=4，代入解出即可得出．（2）由于首項為1的正項數列{an}，由于 ＜2．可得 ．對q分類討論：q=1時，n=1時不滿足條件，因此q≠1．②由 ＜2 ， ＜q＜1時，經過驗證成立： ＜q＜1.2＞q＞1時，化為2qn+1﹣qn﹣1＞0，qn+1﹣2qn+1＜0不成立，舍去．（3）設首項為1的正項數列{an}的公差為d，d≥0，由 ＜2，化為1+（n﹣1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n﹣1）d]．分類討論：n=1時，n=2時，n≥3時，可得：0≤d＜1．根據a1 ， a2 ， …，ak（k≥3）成等差數列，a1+a2+…+ak=120，可得k+ d=120，k=1時，不成立，舍去．k≥2時，解得d= ，代入解得：15＜k≤120．即可得出．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．