Question

【題目】已知雙曲線C的焦點與橢圓 =1的焦點相同，且漸近線方程為y=± x．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）設F1為雙曲線的左焦點，P為雙曲線C的右支上一點，且線段PF1的中點在y軸上，求△PF1F2的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 =1的焦點為：（±5，0）

∴雙曲線的焦點為：（±5，0），

設雙曲線方程： ，

∴c=2

雙曲線的漸近線方程為y=± x，

不妨設a=3λ，b=4λ（λ＞0），

∵a2+b2=c2，

∴λ=1

∴雙曲線方程為

（2）解：設P（x0，y0），又F1（﹣5，0），

由PF1的中點在y軸上，知x0=5

代入雙曲線方程，得y0=±

∴ = 丨F1F2丨丨y0丨= ×10× = ．

△PF1F2的面積為

【解析】（1）由橢圓的方程，求得橢圓方程坐標，求得雙曲線的焦點坐標，即c=2，由漸近線方程為y=± x，則a=3λ，b=4λ，代入a2+b2=c2 ， 求得λ=1，即可求得a和b，即可求得雙曲線C的標準方程；（2）設P（x0 ， y0），由PF1的中點在y軸上，知x0=5，代入即可求得y0=± ，則 = 丨F1F2丨丨y0丨，即可求得△PF1F2的面積．