Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點，，Q為平面上的動點，且，線段的中垂線與線段交于點P．

求的值，并求動點P的軌跡E的方程；

若直線l與曲線E相交于A，B兩點，且存在點其中A，B，D不共線，使得，證明：直線l過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

由中垂線性質可知，根據橢圓性質得出P點軌跡方程；

設，，直線l方程為，與橢圓方程聯立方程，利用根與系數關系得出關系式，由可知，根據斜率公式化簡即可得出m，n的關系，從而得出直線l的定點坐標．

解：由已知，，，

依題意有：，

，

故點P的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，即，，，

故點P的軌跡E的方程為．

令，，

因A，B，D不共線，故l的斜率不為0，

令l的方程為：，則由得，

，

則，，

，，

即，整理得，

而，代入得：

，

把代入得：，

當時，得：，

此時l的方程為：，過定點．

當時，亦滿足，此時l的方程為：．

綜上所述，直線l恒過定點．