Question

【題目】設.

（1）若，求數列的通項公式；

（2）若，問：是否存在實數c使得對所有成立？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；證明見解析；

【解析】

（1）根據已知條件證得數列是等差數列，由此求得，進而求得數列的通項公式.

（2）設，則.利用數學歸納法證得、.進而證得、，從而證得結論成立.

（1）當時，，，

兩邊平方得：.

從而是首項為，公差為1的等差數列，

故，

由于，即，

所以

（2）設，則.

先證：.①

當時，結論明顯成立.

假設時結論成立，即.

由于在上為減函數，從而

.

即.這就是說，當時結論成立故①成立.

再證：.②

當時，，所以，即時②成立.

假設時，結論成立，即.

由①及在上為減函數，得

，

.

這就是說，當時②成立.所以②對一切成立.

由②得，

即，

因此③.

又由①②及在上為減函數，得，即.

.解得④.

綜上，由②③④知，存在，使對一切成立.