Question

對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現有兩個函數f₁（x）=log_a（x-2a）與f2(x)=loga

1

x-a

，（a＞0，且a≠1），給定區間[a+1，a+2]
（1）若f₁（x）與f₂（x）在區間[a+1，a+2]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，討論f₁（x）與f₂（x）在區間[a+1，a+2]上是否是接近的．

Answer 1

分析：（1）根據f₁（x）與f₂（x）在區間[a+1，a+2]上都有意義，利用對數函數成立的條件即可求a的取值范圍；
（2）根據函數接近的定義進行判斷即可．

解答：解：（1）若f₁（x）與f₂（x）在區間[a+1，a+2]上都有意義，
則

a+1-2a＞0 a+2-2a＞0 a+1-a＞0 a+2-a＞0

，即

a＜1 a＜2

，
∴0＜a＜1
∴a的取值范圍是（0，1）．
（2）設m（x）=f₁（x）-f₂（x）=log_a（x-2a）-loga

1

x-a

=log_a[（x-2a）（x-a）]，
若m（x）=f₁（x）-f₂（x）在區間[a+1，a+2]上是接近的，
則|log_a[（x-2a）（x-a）]|≤1，即a≤（x-2a）（x-a）≤

1

a

，
∵0＜a＜1
∴a＜2a＜a+1＜a+2，
∴y=（x-2a）（x-a）在[a+1，a+2]上單調遞增，y_max=4-2a，y_min=1-a，
∴滿足

1-a≥a 4-2a≤ 1 a

，
即

a≤ 1 2 a≥ 2+ 2 2 或a≤ 2- 2 2

，
∴0＜a≤

2- 2

2

，
即當0＜a≤

2- 2

2

時，f₁（x）與f₂（x）在區間[a+1，a+2]上是接近的，
當

2- 2

2

＜a＜1時，f₁（x）與f₂（x）在區間[a+1，a+2]上不接近．

點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題時要注意函數恒成立的充要條件的合理運用．綜合性較強，難度較大．