Question

對于在區間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數與，如果對任意，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現有兩個函數與（a > 0且），給定區間．

（1）若與在給定區間上都有意義，求a的取值范圍；

（2）討論與在給定區間上是否友好．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) 當時，在上是友好的，當時，在上是不友好的

【解析】

試題分析：（1）函數f（x）與g（x）在區間[a+2，a+3]上有意義，必須滿足（2）假設存在實數a，使得函數f（x）與g（x）在區間[a+2，a+3]上是“友好”的，

則|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|?|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*），因為a∈（0，1）?2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右側，

所以函數g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在區間[a+2，a+3]上為減函數，從而，于是不等式（*）成立的充要條件是，因此，當時，在上是友好的； 當時，在上是不友好的

考點：本題考查了函數的定義域及單調性

點評：此類問題要求學生熟練掌握函數單調性的判斷與證明，以及新定義的運用，屬于中檔題．