Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）過拋物線上的任意一點作拋物線的切線，交拋物線的準線于點.在軸上是否存在一個定點，使以為直徑的圓恒過.若存在，求出的坐標，若不存在，則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在一個定點，使以為直徑的圓恒過

【解析】

（1）利用拋物線的定義，結合，求得，由此求得拋物線的方程.

（2）首先假設存在一個，使以為直徑的圓恒過.設出切線的方程，利用導數建立切線斜率的等量關系式，結合，利用向量數量積的坐標運算列方程，解方程求得點的坐標，由此證得存在點符合題意.

（1）由拋物線定義知，又，

∴，解得，

∴拋物線的方程為.

（2）存在一個，使以為直徑的圓恒過.

由（1）得拋物線為，準線方程為.

依題意切線斜率一定存在且不為0，設切線方程為.

設定點為，，，

∵，∴切線斜率，又，

∵，∴，解得.

以為直徑的圓恒過定點等價于.

∴，.

∴恒成立.

∴且，解得，存在一個定點，使以為直徑的圓恒過.