Question

【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側面底面ABCD,且,若E,F分別為PC,BD的中點.

(I)求證:EF//平面PAD;

(II)求三棱錐F-DEC的體積;

(III)在線段CD上是否存在一點G,使得平面平面PDC?若存在,請說明其位置,并加以證明;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；(II)；(Ⅲ) 的中點為滿足條件的點

【解析】

（I）連接交于,利用三角形的中位線定理即可得到,再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）取的中點,連接．由等腰三角形的性質可得,再利用面面垂直的性質可得底面,計算出三棱錐的高,利用三棱錐的體積計算公式即可得出；
（III）易得的中點滿足條件,再證明平面即可證明平面平面PDC.

(Ⅰ)證明：連接,則是的中點,在中, ，

∵平面，平面，

∴平面；

(Ⅱ)如圖，取的中點，連接.

∵，∴.

∵側面底面，側面底面，平面，

∴底面.

∵為的中點，∴三棱錐的高為，

∵，且，∴，∴,

∴三棱錐的體積是.

(Ⅲ) 的中點為滿足條件的點

證明：取的中點,連接,

則因為E,F分別為PC,BD的中點,為的中點,故為的中位線,

故,平面，平面，故平面.

同理平面.因為,故平面平面.

又正方形,故,

又側面底面，側面底面,平面，

故平面,故平面.

又平面,故平面平面PDC

故的中點為滿足條件的點.