Question

【題目】如圖，已知位于軸左側的圓與軸相切于點且被軸分成的兩段圓弧長之比為，直線與圓相交于，兩點，且以為直徑的圓恰好經過坐標原點.

（1）求圓的方程；

（2）求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）依題意可設圓心，根據圓的性質可以得出，進而可以求出圓的標準方程；

（2）解法1.

依題意知，只需求出點（或）在劣弧上運動時的直線（或）斜率，設其直線方程為，根據直線與圓的位置關系，結合點到直線的距離公式，可以求出的取值范圍，根據點在劣弧上，點在劣弧上，求出直線的斜率，進而求出直線的斜率的取值范圍，在討論線的斜率為零時，是否滿足，最后確定直線的斜率的取值范圍；

解法2.

當時，直線的方程為，根據直線與圓的位置關系結合點到直線距離公式，求出斜率的取值范圍，再以代求出斜率的取值范圍，接著討論時，是否滿足條件，最后確定斜率的取值范圍.

（1）依題意可設圓心.設圓與軸交于點，因為圓被軸分成的兩段圓弧之比為，所以.于是，圓心.

所以圓的方程為.

（2）解法1.

依題意知，只需求出點（或）在劣弧上運動時的直線

（或）斜率，設其直線方程為，

此時有，解得.

若點在劣弧上，則直線的斜率，于是;

若點在劣弧上，則直線的斜率，于是.

又當時，點為，也滿足條件綜上所述，所求的直線的斜率的取值范圍為或

解法2.

當時，直線的方程為，由題意得，解得.

以代得，，解得或.

當時，也滿足題意.

綜上所述，的取值范圍是或