Question

【題目】已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于點M、N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若 =12，其中O為坐標原點，求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，直線l的斜率存在，

設過點A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．

由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=1．

故由 =1，解得：k1= ，k2= ．

故當 ＜k＜ ，過點A（0，1）的直線與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N兩點．

（2）解：設M（x1，y1）；N（x2，y2），

由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，

可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1

= k2+k +1= ，

由 =x1x2+y1y2= =12，解得 k=1，

故直線l的方程為 y=x+1，即 x﹣y+1=0．

圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．

所以|MN|=2．

【解析】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．（2）由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，根據直線和圓相交的弦長公式進行求解．