Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，的面積為，.點為線段的中點.

（1）在線段上找一點，使得平面平面，并證明；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)先取的中點，連接，根據面面平行的判定定理即可得出結論成立；

(2)先取中點，的中點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，求出向量夾角的余弦值即可得出結果.

（1）取的中點，連接.

，四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面；

同理可得，四邊形為平行四邊形，平面；

，平面，平面.

平面平面.

（2）取中點，的中點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

，，，.

由題意得，.

則，.

設平面的一個法向量為，

則，即，即.

令，則，，即.

又平面的一個法向量為.

，

由圖可知，二面角為銳角，

故二面角的余弦值為.