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【題目】已知函數（是自然對數的底數），

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）設，其中為的導函數，證明：對任意，

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的單調遞增區間為；單調遞減區間為；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數f(x)求導， ，代入x=1,可求得，切點坐標再點斜式可求切線方程。(2)定義域因為又得，可得單調區間。（3）， 等價于在時恒成立，由（2）知,當時， 的最大值，即證。

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為,

由，得，∴點A的坐標為.

，所以，

所以曲線點A處的切線方程為

（Ⅱ），所以

令得，因此當時， 單調遞增；

當時， 單調遞減.

所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

（Ⅲ）證明：因為，所以， 等價于在時恒成立,

由（Ⅱ）知,當時， 的最大值，

故，

因為時，

所以，

因此任意， .

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=2x2+bx+c．
（1）對任意x∈[﹣1，1]，f（x）的最大值與最小值之差不大于6，求b的取值范圍；
（2）若f（x）=0有兩個不同實根，f（f（x））無零點，求證： ﹣ ＞1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費 (單位：千元)對年銷售量 (單位：t)和年利潤 (單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費和年銷售量 (i＝1，2，…，8)數據作了初步處理，得到右面的散點圖及一些統計量的值．

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，

(1)根據散點圖判斷， 與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立關于的回歸方程；

(3)已知這種產品的年利潤與的關系為.根據(2)的結果回答下列問題：

①年宣傳費＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數據， …，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設等比數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=2，且4S1 ， 3S2 ， 2S3成等差數列．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=|2n﹣5|an ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖在棱長均為2的正四棱錐P﹣ABCD中，點E為PC中點，則下列命題正確的是（ ）

A.BE平行面PAD，且直線BE到面PAD距離為
B.BE平行面PAD，且直線BE到面PAD距離為
C.BE不平行面PAD，且BE與平面PAD所成角大于
D.BE不平行面PAD，且BE與面PAD所成角小于

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓： ，點，點（），以為圓心， 為半徑作圓，交圓于點，且的平分線交線段于點.

（1）當變化時，點始終在某圓錐曲線上運動，求曲線的方程；

（2）已知直線 過點 ，且與曲線交于 兩點，記面積為， 面積為，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）利用函數單調性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的點，且BE⊥B1C．
（1）求CE的長；
（2）求證：A1C⊥平面BED；
（3）求A1B與平面BDE夾角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若在區間上的最小值為，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對任意，有恒成立，求的取值范圍.

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