Question

【題目】已知函數 ．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）利用函數單調性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為奇函數．證明如下：

∵2x+1≠0，

∴f（x）的定義域為R，

又∵ ，

∴f（x）為奇函數

（2）解： ，

任取x1、x2∈R，設x1＜x2，

∵ = = ，

∵ ，∴ ，又 , ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在其定義域R上是增函數

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義可作出判斷、證明；（2） ，任取x1、x2∈R，設x1＜x2 ， 通過作差證明f（x1）＜f（x2）即可；
【考點精析】通過靈活運用函數的單調性和奇偶性與單調性的綜合，掌握注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．