Question

【題目】在直角坐標系中，設橢圓的焦點為，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，若的周長為短軸長的倍.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設的斜率為，在橢圓上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在點，使成立．

【解析】試題分析：（1）根據橢圓定義得的周長為,即，解得橢圓的離心率；（2）設， ， ,則由得代入等式,并化簡得．利用直線方程與橢圓方程聯立方程組,結合韋達定理得， ．代入解得矛盾,故不存在.

試題解析：解：（Ⅰ）∵橢圓： 的焦點為， ，

過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，

的周長為短軸長的倍， 的周長為．

∴依題意知，即．

∴橢圓的離心率．

（Ⅱ）設橢圓方程為，

直線的方程為，

代入橢圓方程得．

設， ，

則， ．

設，則．①

由得

代入①得．

因為， ，

所以．②

而

．

從而②式不成立．

故不存在點，使成立．