Question

【題目】已知p：方程 =1表示焦點在x軸上的橢圓，q：雙曲線 =1的離心率e∈（ ， ）．
（1）若橢圓 =1的焦點和雙曲線 =1的頂點重合，求實數m的值；
（2）若“p∧q”是真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由雙曲線 =1，得m＞0，且a2=5，a= ．

∵橢圓 =1的焦點和雙曲線 =1的頂點重合，

∴橢圓 =1的焦點在x軸上，且a2=9﹣m，b2=2m，則 ，

∴ ，解得m=

（2）解：∵方程 =1表示焦點在x軸上的橢圓，

∴9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3，

∵雙曲線 =1的離心率e∈（ ， ），

∴ （ ），即 ，

若“p∧q”是真命題，則 ＜m＜3

【解析】（1）由雙曲線方程可知雙曲線的焦點在x軸上，進一步可得橢圓的焦點在x軸上，求出橢圓的半焦距與雙曲線的實半軸長，列等式求得m值；（2）由方程 =1表示焦點在x軸上的橢圓，雙曲線 =1的離心率e∈（ ， ）分別求出m的范圍，結合“p∧q”是真命題，取交集得答案．