Question

【題目】已知是坐標原點，橢圓的焦距為，左、右焦點分別為，，點在橢圓上，若的面積最大時.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓在第一象限交于點，點是第四象限的點且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）確定是橢圓的上頂點或下頂點時的面積最大，則有，即，再根據求解.

（2）依題意，點的坐標為，直線不與軸垂直，設直線，即，設，.由，得.由韋達定理，用k表示，再根據，得到，進而求得，證明.

（1）當是橢圓的上頂點或下頂點時的面積最大，

設是橢圓的上頂點，

則，即.

又，，

，，.

橢圓的標準方程為.

（2）證明：依題意，點的坐標為，

直線不與軸垂直，設直線，

即，直線，即.

設，.

由，

得.

，.

則.

又，，

.

又，.

.