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【題目】函數在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ），成立，求實數的取值范圍.

【答案】（1）；（2）函數的減區間是，增區間是；（3）的取值范圍是．.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求得， 分別令，，即可求得的值；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在區間上為增函數，且，進而得到函數的單調區間；

(Ⅲ)構造函數，由成立，等價于，再由(Ⅱ)知當時，，即（當且僅當時取等號），即可求解實數的取值范圍．

試題解析：

(Ⅰ)，

依題意得，，則有

．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在區間上為增函數，且，

則當時，；當時，，

故函數的減區間是，增區間是．

(Ⅲ) 因為，

于是構造函數，

，成立，等價于，

由(Ⅱ)知當時，，即對恒成立．

即（當且僅當時取等號）

所以函數，又時，，

所以．故的取值范圍是．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】三棱錐中，側面底面, 是等腰直角三角形的斜邊，且.

（1）求證： ；

（2）已知平面平面，平面平面， ，且到平面的距離相等，試確定直線及點的位置（說明作法及理由），并求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，已知點為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，動點的軌跡為.

(1)求的直角坐標方程；

(2)設點的極坐標為，點在曲線上，求的面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知等比數列的各項為正數，且.

（1）求的通項公式；

（2）設，求證數列的前項和＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

將學生日均課外體育鍛煉時間在的學生評價為“課外體育達標”.

（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面的列聯表；

課外體育不達標

課外體育達標

合計

男

女

20

110

合計

（2）通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？

參考格式：，其中

0.025

0.15

0.10

0.005

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

2.072

6.635

7.879

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某三棱錐的三視圖如圖所示，則三棱錐的體積為( )

A. 10 B. 20 C. 30 D. 60

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若在，處取得極值.

①求、的值；

②若存在，使得不等式成立，求的最小值；

（2）當時，若在上是單調函數，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知各項都是正數的數列的前項和為，且，數列滿足，.

（1）求數列、的通項公式；

（2）設數列滿足，求和；

（3）是否存在正整數，，，使得，，成等差數列？若存在，求出所有滿足要求的，，，若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖， 平面， 平面， 是等邊三角形， ，

是的中點.

（1）求證： ；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

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