Question

【題目】已知拋物線,直線與拋物線交于為拋物線上一點.

(1)若,求

(2)已知點,過點作直線分別交曲線于,證明:在點運動過程中,直線始終過定點,并求出該定點.

Answer 1

【答案】（1）或，（2）

【解析】

（1）首先設，，聯立直線與拋物線方程得到，再根據得到，利用根系關系即可求出的值.

（2）分類討論存在和不存在的情況，設出直線，聯立方程組分別求出的坐標，再求出直線，即可得到定點坐標.

（1）設，，由題知：

，，.

，.

，，

因為，所以.

即.

.

.

因為，即.

所以，即

解得或，或.

（2）當不存在時，

.

①當時，，如圖所示：

，.

，，.

此時與重合，為.

②同理當時，時，

此時與重合，為.

當存在時，設在下方，在上方，如圖所示：

，.

.

，.

因為，所以

，.

，.

.

，，，

：，

整理得：

即：，所以過定點.

當為時，也過定點.

綜上所述：直線恒過定點.