Question

【題目】已知對數函數過定點（其中），函數（其中為的導函數，，為常數）

（1）討論的單調性；

（2）若對有恒成立，且在（）處的導數相等，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞減；當時在單調遞增，在單調遞減（2）證明見解析

【解析】

(1)求出的解析式,得到,利用分類討論法研究的單調性;

(2)根據(1)可知,得到和的解析式,利用求得,結合基本不等式得到,令,則可換元為,最后利用導數求出的最小值即可得證.

(1)令(且),將定點代入解得,

所以,,

所以,(),

當時,在時恒成立,即在單調遞減;

當時,,

即在單調遞增,在單調遞減;

綜上所述:當時,在單調遞減;

當時在單調遞增,在單調遞減.

(2)因為,而有恒成立,

所以,

由(1)知必有,

∴,,

,

設,即,∴,

,

∴,

令,,

∴(),

∴在上單調遞增,

∴,即.