【題目】表面積為
的球面上有四點S、A、B、C，且
是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為1，若平面
平面ABC，則三棱錐
體積的最大值為______．
【答案】
【解析】
由球的表面積求出半徑OB，再計算
的面積為定值，由此得出S在AB的中垂線上且位于球心同側時，棱錐
體積的最大，結合圖形求出點S到平面ABC的距離，由此求得棱錐體積的最大值．
過球心O作平面ABC的垂線段OD，垂足為D，過D作
，垂足為E，
連接BD，則
，
，如圖所示；
則球的表面積為
，解得半徑
；
又
，
；
又是等邊三角形，
是的中心，
，
；
；
由球的對稱性可知當S在AB的中垂線上時，S到平面ABC的距離最大，
過O作平面SAB的垂線段SH，垂足為H，
平面
平面ABC，，平面
平面
，
平面ABC，
平面SAB；又
平面SAB，
，
四邊形ODEH是矩形，
，
，
，
，
；
則三棱錐面積的最大值為：
．
故答案為：
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以
為極點，
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的參數方程為
為參數
，直線與曲線分別交于
兩點.
（1）若點
的極坐標為
，求
的值；
（2）求曲線的內接矩形周長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設橢圓
： 
，長軸的右端點與拋物線
： 
的焦點
重合，且橢圓
的離心率是
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）過
作直線
交拋物線
于
， 
兩點，過
且與直線
垂直的直線交橢圓
于另一點
，求
面積的最小值，以及取到最小值時直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數
的圖像向左平移
個單位后得到函數
的圖像，且函數
滿足
，則下列命題中正確的是（）
A. 函數圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為
B. 函數圖像關于點
對稱
C. 函數圖像關于直線
對稱
D. 函數在區間
內為單調遞減函數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們知道，地球上的水資源有限，愛護地球、節約用水是我們每個人的義務和責任.某市政府為了對自來水的使用進行科學管理，節約水資源，計劃確定一個家庭年用水量的標準，為此，對全市家庭日常用水的情況進行抽樣調查，并獲得了
個家庭某年的用水量（單位：立方米），統計結果如下表所示.
（Ⅰ）分別求出
的值；
（Ⅱ）若以各組區間中點值代表該組的取值，試估計全市家庭平均用水量；
（Ⅲ）從樣本中年用水量在
（單位：立方米）的
個家庭中任選
個，作進一步跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（個家庭的年用水量都不相等）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學的環保社團參照國家環境標準制定了該校所在區域空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表（假設該區域空氣質量指數不會超過300）：
空氣質量指數 |
|
|
|
|
|
|
空氣質量等級 | 1級優 | 2級良 | 3級輕度污染 | 4級中度污染 | 5級重度污染 | 6級嚴重污染 |
該社團將該校區在2018年11月中10天的空氣質量指數監測數據作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計為概率.
（1）以這10天的空氣質量指數監測數據作為估計2018年11月的空氣質量情況，則2018年11月中有多少天的空氣質量達到優良？
（2）從這10天的空氣質量指數監測數據中，隨機抽取三天，求恰好有一天空氣質量良的概率；
（3）從這10天的數據中任取三天數據，記
表示抽取空氣質量良的天數，求的分布列和期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】動圓M與圓F1：x2+y2+6x+5＝0外切，同時與圓F2：x2+y2﹣6x﹣91＝0內切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程E，并說明它是什么曲線；
（2）若直線y
x+m與（1）中的軌跡E有兩個不同的交點，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
平面
，
為
邊上一點，
，
.
（1）證明：平面
平面
.
（2）若
，試問：
是否與平面
平行？若平行，求三棱錐
的體積；若不平行，請說明理由.
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