Question

【題目】已知圓，直線，.

（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）是否存在實數，使得圓上有四點到直線的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由；

（3）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由圓心到直線的距離小于半徑可證得相交；

（2）利用圓心到直線的距離為，可求得；

（3）設中點為，利用，即可得解.

試題解析：

證明：（1）圓的圓心為，半徑為，

所以圓心到直線的距離.

所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）假設存在直線，使得圓上有四點到直線的距離為，

由于圓心，半徑為，

則圓心到直線的距離為

化簡得，解得或.

（3）設中點為，

因為直線恒過定點，

當直線的斜率存在時，，又，

∵，∴

化簡得.

當直線的斜率不存在時，，

此時中點為，也滿足上述方程.

所以的軌跡方程是，

它是一個以為圓心，以為半徑的圓.