Question

【題目】設函數f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）

（1）設a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a對x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范圍；

（2）函數f（x）在區間（0，1）內是否有零點，有幾個零點？為什么？

Answer 1

【答案】（1）0＜c＜1, （2）有，一個或兩個，理由見解析

【解析】

（1）由題意可得：二次函數的對稱軸為，由條件可得：，所以，進而得到在區間[1，+∞）是增函數，求出函數的最小值，即可得到答案．

（2）二次函數的對稱軸是，討論，，而

，根據根的存在性定理即可得到答案．

(1 )因為二次函數的圖象的對稱軸，

因為由條件，得，

所以，

所以二次函數的對稱軸在區間的左邊，且拋物線的開口向上，

所以在區間是增函數.

所以，

因為，對恒成立,

所以，

所以；

(2)①若，

則或，此時二次函數)在內只有一個零點；

②若，

則.

因為二次函數圖象的對稱軸是，

因為，

而，

所以函數在區間和內分別存有一零點，

故函數在區間內有兩個零點.

③若，，

所以在區間內存在一個零點；

④若，

則,，，

所以在區間 內有零點.