Question

（08年鷹潭市二模理）（12分）如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

Answer 1

解析:解法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，    

又∵，

平面．……………………3分

平面，

．

平面．    ………………4分

 (Ⅱ)連結，

平面，

是直線與平面所成的角．……………………5分

設，則

，，       ……………………6分

，

．           

即直線與平面所成的角為．   …………………8分

 (Ⅲ)過作于，連結．    …………………………9分

平面，．平面．

是二面角的平面角．…………………10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所設可得

，，

．………………………11分

．．

∴二面角等于．           ………………………12分

解法二: ∵四邊形是正方形 ，

，∵平面平面，

平面，   ……………………2分

∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則

，

是正方形的對角線的交點，

．……………………4分

 (Ⅰ) ，

，，

，…………………………5分

平面．       ……………………6分

(Ⅱ) 平面，

為平面的一個法向量，………………………7分

，

．………………………8分

．

∴直線與平面所成的角為．……………………9分

 (Ⅲ) 設平面的法向量為，則且，

且．

      即

取，則， 則．……………………10分

又∵為平面的一個法向量，且，

，……………………11分

設二面角的平面角為，則，

．

∴二面角等于．…………………………………12分