Question

【題目】已知函數 ，且 .
（Ⅰ）設 ，求 的單調區間及極值；
（Ⅱ）證明：函數 的圖象在函數 的圖象的上方.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：由 ，所以 ，解得 ，
又 得 ，所以 ，
于是 ，則 ，由 ，
故答案為： 的遞增區間 ，遞減區間 ，
當 時， ．
（Ⅱ）證明：“函數 的圖象在函數 的圖象的上方”等價于“ ”，即要證： ，又 ，
所以只要證 ．
由（Ⅰ）得 ，即 （當且僅當 時等號成立），
所以只要證明當 時， 即可．
設 = ，
所以 ，令 ，解得 ，
由 得 ，所以 在 上為增函數，
所以 =0，即 ，
所以 ，故函數 的圖象在函數 的圖象的上方.
【解析】（1）利用已知條件得到關于a,b的方程組，求a,b。再用導函數求函數的單調區間和極值.
（2）先找到直線在函數的圖象上方，轉化為證明不等式成立，用分析法得到等價的不等式，再轉化為構造的函數h(x)的最小值大于0即可.