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對于在區間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數與，如果對任意，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現有兩個函數與（a > 0且），給定區間．

若與在給定區間上都有意義，求a的取值范圍；

討論與在給定區間上是否友好．

 

【答案】

 (1)

(2) 當時，在上是友好的

  當時，在上是不友好的

【解析】本試題主要是考查了新定義函數是不是友好的，理解概念，并能利用概念來分析新函數是否滿足題意，如果滿足了，需要求解參數的范圍的綜合運用。

（1）由題，，又在上有意義

所以，得到參數a的取值范圍。

（2）在上是友好的，利用等價轉化思想得到

對任意的恒成立

那么研究函數的最值得到。

解：(1) 由題，

又在上有意義

∴

(2) 在上是友好的

對任意的恒成立

現設，

由(1)問知，的對稱軸，在區間的左邊

∴

∴當時，在上是友好的

  當時，在上是不友好的

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于在區間[a，b]上有意義的兩個函數m（x）與n（x），如果對于區間[a，b]中的任意x均有|m（x）-n（x）|≤1，則稱m（x）與n（x）在[a，b]上是“密切函數”，[a，b]稱為“密切區間”，若函數m（x）=x2-3x+4與n（x）=2x-3在區間[a，b]上是“密切函數”，則b-a的最大值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=asinx-x+b（a、b均為正的常數）．
（1）求證函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）設函數f（x）在x=
π
3
處有極值
①對于一切x∈[0，
π
2
]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；
②若函數f（x）在區間（
m-1
3
π，
2m-1
3
π)上單調遞增，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•東城區三模）對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對于任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的．若函數y=x2-2x+3與函數y=3x-2在區間[m，n]上是接近的，給出如下區間①[1，4]②[1，3]③[1，2]∪[3，4]④[1，
32
]∪[3，4]，則區間[m，n]可以是
③、④
③、④
．（把你認為正確的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•江西模擬）對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對于任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，若函數f（x）=x2-2x+3與g（x）=3x-2在區間[m，n]上是接近的，給出如下區間：（1）[1，4]（2）[1，2]（3）[1，2]∪[3，4]（4）[1，
32
]∪[3，4]，則區間[m，n]可以是
（2）（3）（4）
（2）（3）（4）
（把你認為正確的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現有兩個函數f1（x）=loga（x-2a）與f2(x)=loga
1x-a
，（a＞0，且a≠1），給定區間[a+1，a+2]
（1）若f1（x）與f2（x）在區間[a+1，a+2]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，討論f1（x）與f2（x）在區間[a+1，a+2]上是否是接近的．

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