Question

【題目】如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A、B 及CD的中點P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD 的區域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP ，設排污管道的總長度為km．

（1）按下列要求寫出函數關系式：①設∠BAO= (rad)，將表示成的函數；②設OP (km) ，將表示成的函數．

（2）請選用（1）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道總長度最短．

Answer 1

【答案】（1）① ②（2）當污水處理廠建在矩形區域內且到A、B的距離均為 (km)時，鋪設的排污管道總長度最短．

【解析】試題分析：（1）第（1）問第①問，先根據已知把表示成的函數，再利用三角恒等變換的知識化簡函數. 第②問，直接利用兩點間的距離公式把表示成的函數.(2)第（2）問，先對函數求導，再求出函數的單調區間，最后根據單調區間得到函數的最小值.

試題解析：

（1）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，

則, 故，又OP＝，

所以，

所求函數關系式為

②若OP= (km) ，則OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函數關系式為

（2）選擇函數模型①，

令0 得sin ，因為，所以=，

當時， ， 是的減函數；當時， ， 是的增函

數，所以函數在=時取得極小值，這個極小值就是最小值． ．這時 (km)

因此，當污水處理廠建在矩形區域內且到A、B的距離均為 (km)時，鋪設的排污管道總長度最短．