Question

設是由個實數組成的行列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.
(Ⅰ) 數表如表所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）；

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 數表如表所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數的所有可能值；

(Ⅲ)對由個實數組成的行列的任意一個數表，
能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之
和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)
(Ⅱ)      (Ⅲ)結論成立

試題分析：（I）
法1：

法2：

法3：

（寫出一種即可）                                                 
(II)  每一列所有數之和分別為2，0，，0，每一行所有數之和分別為，1;
①如果操作第三列，則

則第一行之和為，第二行之和為，
,解得.                     
②如果操作第一行

則每一列之和分別為，，，
解得，綜上                        
(III) 證明：按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）
由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得
數陣中個數之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只
是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，數表中
個數之和必然小于等于，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止,終止
之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立
點評：本題考查學生分析數據，總結、歸納數據規律的能力，關鍵是找出規律，要求學生要有一定的解題技巧．