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【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）如果方程有兩個不相等的解，且，證明：.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）對函數進行求導得，再對進行分類討論，解不等式，即可得答案；

（2）當時，在單調遞增，至多一個根，不符合題意；當時，在單調遞減，在單調遞增，則.不妨設，只要證，再利用函數的單調性，即可證得結論.

（1）.

①當時，單調遞增；

②當時，單調遞減；

單調遞增.

綜上：當時，在單調遞增；

當時，在單調遞減，在單調遞增.

（2）由（1）知，

當時，在單調遞增，至多一個根，不符合題意；

當時，在單調遞減，在單調遞增，則.

不妨設，

要證，即證，即證，即證.

因為在單調遞增，即證，

因為，所以即證，即證.

令

，

.

當時，單調遞減，又，

所以時，，即，

即.

又，所以，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應的五個數字組成，編碼規則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應的密碼由明文對應的數字按相同的次序排成一排組成.


第一排

明文字符

A

B

C

D

密碼字符

11

12

13

14


第二排

明文字符

E

F

G

H

密碼字符

21

22

23

24


第三排

明文字符

M

N

P

Q

密碼字符

1

2

3

4

設隨機變量表示密碼中不同數字的個數．

(Ⅰ)求； (Ⅱ)求隨機變量的分布列和它的數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為美化校園，江蘇省淮陰中學將一個半圓形的邊角地改造為花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B、P都在半圓弧上，設∠NOP=∠POA=，∠AOB=，且.

（1）請用分別表示線段NA、BM的長度；

（2）若在花園內鋪設一條參觀線路，由線段NA、AB、BM三部分組成，則當取何值時，參觀線路最長？

（3）若在花園內的扇形ONP和四邊形OMBA內種滿杜鵑花，則當取何值時，杜鵑花的種植總面積最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于數列{an}，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱{an}為P數列.

（1）若{an}的前n項和Sn＝3n+2，試判斷{an}是否是P數列，并說明理由；

（2）設數列a1，a2，a3，…，a10是首項為﹣1、公差為d的等差數列，若該數列是P數列，求d的取值范圍；

（3）設無窮數列{an}是首項為a、公比為q的等比數列，有窮數列{bn}，{cn}是從{an}中取出部分項按原來的順序所組成的不同數列，其所有項和分別為T1，T2，求{an}是P數列時a與q所滿足的條件，并證明命題“若a＞0且T1＝T2，則{an}不是P數列”.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】由我國引領的5G時代已經到來，5G的發展將直接帶動包括運營、制造、服務在內的通信行業整體的快速發展，進而對增長產生直接貢獻，并通過產業間的關聯效應和波及效應，間接帶動國民經濟各行業的發展，創造岀更多的經濟增加值.如圖是某單位結合近年數據，對今后幾年的5G經濟產出所做的預測.結合下圖，下列說法正確的是（ ）

A.5G的發展帶動今后幾年的總經濟產出逐年增加

B.設備制造商的經濟產出前期增長較快，后期放緩

C.設備制造商在各年的總經濟產出中一直處于領先地位

D.信息服務商與運營商的經濟產出的差距有逐步拉大的趨勢

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠共有男女員工500人，現從中抽取100位員工對他們每月完成合格產品的件數統計如下：

每月完成合格產品的件數（單位：百件）

頻數

10

45

35

6

4

男員工人數

7

23

18

1

1

（1）其中每月完成合格產品的件數不少于3200件的員工被評為“生產能手”.由以上統計數據填寫下面列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“生產能手”與性別有關？

非“生產能手”

“生產能手”

合計

男員工

span>女員工

合計

（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規定每月完成合格產品的件數在定額2600件以內的，計件單價為1元；超出件的部分，累進計件單價為1.2元；超出件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調查，設實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數為，求的分布列和數學期望.

附：，

.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，，為邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且使平面平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】過橢圓的左頂點作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為，與軸的交點為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，若軸上存在一定點，使得，求橢圓的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的數量，T表示利潤.

（Ⅰ）將T表示為x的函數

（Ⅱ）根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;

（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若x,則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110，求T的數學期望.

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