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已知坐標平面內：，：.動點P與外切與內切.
（1）求動圓心P的軌跡的方程;
（2）若過D點的斜率為2的直線與曲線交于兩點A、B,求AB的長;
（3）過D的動直線與曲線交于A、B兩點，線段中點為M，求M的軌跡方程.

（1）；（2）；（3）

解析試題分析：（1）由圓的內切與外切的圓心距與圓的半徑的關系，根據橢圓的定義可求出橢圓的方程.
（2）由過點D的直線及斜率可寫出該直線方程.再聯立橢圓方程即可得通過弦長公式即可求得AB弦的長度.
（3）有點差法可得到一個關于中點坐標和斜率的關系的等式，同時再利用斜率的另一種表示形式，就如中點與點D再得到斜率的一個等式，消去相應的k從而可得一個關于中點x,y的一個等式.即為所求的中點的軌跡方程.
試題解析：(1)依題意可得，當令動圓半徑為r時，有，易得.由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以C（-1,0）、D（1,0）為焦點的橢圓.令橢圓方程為.所以點P的軌跡方程為.
（2）過點D斜率為2的直線方程為：由，消去y得到.所以.
(3)據點差法結果可知
若令M坐標為（x,y）,則有 ，化簡可得：

考點：1.橢圓的定義.2.橢圓的中的弦長公式.3.點差法的應用.4.方程的思想.5.數學中常見的算兩次的思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）已知點和，過點的直線與過點的直線相交于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，如果，求點的軌跡；
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在中，的外角平分線與邊的延長線相交于點，則.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知橢圓的兩個焦點分別為、,且到直線的距離等于橢圓的短軸長.

(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若圓的圓心為(),且經過、,是橢圓上的動點且在圓外,過作圓的切線,切點為,當的最大值為時,求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，且，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設橢圓與直線相交于不同的兩點M、N，又點，當時，求實數m的取值范圍，

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的兩個焦點是F1(c,0)，F2(c，0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點，求的取值范圍；
(II)設E是(I)中直線與橢圓的一個公共點，求|EF1|+|EF2|取得最小值時，橢圓的方程；
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足   且，其中N為橢圓的下頂點，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點，，直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積是．
（Ⅰ）求點G的軌跡的方程；
（Ⅱ）圓上有一個動點P，且P在x軸的上方，點，直線PA交（Ⅰ）中的軌跡于D，連接PB，CD．設直線PB，CD的斜率存在且分別為，，若，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓：  的離心率為，點（，0），（0，）原點到直線的距離為。

(1) 求橢圓的方程；
(2) 設點為（，0），點在橢圓上（與、均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點，若弦的中點為，求直線的方程.

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