Question

【題目】已知動點滿足：.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形（為坐標原點）為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）由橢圓的定義可得點的軌跡為橢圓，且，，進而可得其方程；（2）設直線的方程為，先根據，可得，①，再根據韋達定理，點在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決.

（1）由已知，動點到點，的距離之和為4，且，

所以動點的軌跡為橢圓，

且，，所以，

所以動點的軌跡的方程為.

（2）由題意知的斜率存在且不為零，

設直線的方程為，

∵，∴，即，①

聯立消可得，

設，，∴，，

∴，

∵四邊形為平行四邊形，故，

∴，整理可得，②，

將①代入②可得，該方程無解，故這樣的直線不存在.