Question

【題目】在平面直角坐標系中，動點到定點的距離與到定直線的距離的比為，動點的軌跡記為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若點在軌跡上運動，點在圓上運動，且總有，

求的取值范圍；

（3）過點的動直線交軌跡于兩點，試問:在此坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標.若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，理由見解析

【解析】

（1）設點，由化簡求解；（2）圓心.根據圓與橢圓的位置關系，分兩種情況討論:①當時，②當時，設，分別利用三角代換求得其最值，即可得到取值范圍；（3）把代入橢圓的方程可得:，取點時滿足.然后證明:在此坐標平面上存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過點即可.

（1）設點，由題意可得:，

即:.

（2）圓心

:①當時，∵總有，

∴

.②當時，設，總有，

所以

，

∴.

綜上可得:的取值范圍是∪.

（3）把代入橢圓的方程可得:，

解得.，所以，，取點時滿足.

下面證明:存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過點.

設過點的動直線的方程為:，.

聯立，化為:，

∴，.

則

∴在此坐標平面上存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過點.