Question

對任意實數k滿足直線y=kx+b與橢圓

x= 3 +2cosθ y=1+4sinθ

(0≤θ＜2π)恒有公共點，則b的取值范圍是

-1≤b≤3

．

Answer 1

分析：先把橢圓的參數方程化為普通方程，與直線方程聯立得到關于x的一元二次方程，由題意可得△≥0，而此式對于任意實數k恒成立，必有△₁≤0，解得即可．

解答：解：由橢圓

x= 3 +2cosθ y=1+4sinθ

(0≤θ＜2π)消去參數θ可得：

(x- 3 )2

4

+

(y-1)2

16

=1，
把y=kx+b代入上式消去y可得：（4+k²）x²+[2k(b-1)-8

3

]x+b²-2b-3=0．
∵直線y=kx+b與橢圓恒有公共點，
∴△≥0，即[2k(b-1)-8

3

]2-4(4+k2)(b2-2b-3)≥0，
化為k2-2

3

k(b-1)-b2+2b+15≥0．
∵上式對任意實數k恒成立，∴△₁≤0，即12（b-1）²-4（-b²+2b+15）≤0，
化為b²-2b-3≤0，解得-1≤b≤3．
故答案為-1≤b≤3．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到x的一元二次方程的判別式△≥0、對于任意實數k一元二次不等式恒成立再轉化為△≤0問題等基礎知識與基本技能，屬于難題．