Question

【題目】已知數列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項(i1<i2<…<im)，若，則稱新數列為{an}的長度為m的遞增子列．規定：數列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的遞增子列．

（Ⅰ）寫出數列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；

（Ⅱ）已知數列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為，長度為q的遞增子列的末項的最小值為.若p<q，求證：<；

（Ⅲ）設無窮數列{an}的各項均為正整數，且任意兩項均不相等.若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s–1，且長度為s末項為2s–1的遞增子列恰有2s-1個（s=1，2，…），求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6.

(Ⅱ)見解析；

(Ⅲ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意結合新定義的知識給出一個滿足題意的遞增子列即可；

(Ⅱ)利用數列的性質和遞增子列的定義證明題中的結論即可；

(Ⅲ)觀察所要求解數列的特征給出一個滿足題意的通項公式，然后證明通項公式滿足題中所有的條件即可.

(Ⅰ)滿足題意的一個長度為4的遞增子列為：1,3,5,6.

(Ⅱ)對于每一個長度為的遞增子列，都能從其中找到若干個長度為的遞增子列，此時，

設所有長度為的子列的末項分別為：，

所有長度為的子列的末項分別為：，

則，

注意到長度為的子列可能無法進一步找到長度為的子列，

故，

據此可得：.

(Ⅲ)滿足題意的一個數列的通項公式可以是，

下面說明此數列滿足題意.

很明顯數列為無窮數列，且各項均為正整數，任意兩項均不相等.

長度為的遞增子列末項的最小值為2s-1，

下面用數學歸納法證明長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有個：

當時命題顯然成立，

假設當時命題成立，即長度為k末項為2k-1的遞增子列恰有個，

則當時，對于時得到的每一個子列，

可構造：和兩個滿足題意的遞增子列，

則長度為k+1末項為2k+1的遞增子列恰有個，

綜上可得，數列是一個滿足題意的數列的通項公式.

注：當時，所有滿足題意的數列為：，

當時，數列對應的兩個遞增子列為：和.