Question

【題目】已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現將該棱柱繞旋轉至圖2.在旋轉過程中，以下命題中正確的個數是（ ）

①液面剛好同時經過，，三點；

②當平面與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為；

③當液面與水平桌面的距離為時，與液面所成角的正弦值為.

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

①若液面剛好同時經過,,三點,則液體的體積為四棱錐,進而求解即可；②當平面與液面成直二面角時,即為圖2的位置,畫出圖形,可先求得液面上方的三棱柱以四邊形為底面的高,再與直三棱柱以四邊形為底面的高求差即可；③由①可得此時液面與水平桌面的距離為,畫出圖形,即可求解.

①若液面剛好同時經過,,三點,則液體的體積為四棱錐,

因為,所以①正確；

②當平面與液面成直二面角時,即為圖2的位置,設液面與直三棱柱的交點為,如圖所示,

因為直三棱柱的體積為,

所以直棱柱的體積為,

所以,即,則在中邊上的高為,

因為在中邊上的高為,所以液面與水平桌面的距離為,所以②正確；

③當液面剛好同時經過,,三點時,如圖所示,

此時,則,

易得,則中邊上的高為,

所以,

設點到平面的距離為,則,即,

即液面與水平桌面的距離為,

由棱柱的對稱性可得點到平面的距離為,設與液面所成角為,

則,所以③正確,

所以①②③正確,

故選:D