Question

【題目】在正四棱柱中，E為AD的中點.

（1）在線段上是否存在點F，使得平面平面？并說明理由；

（2）設，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，詳見解析（2）

【解析】

（1）找到的中點F，分別證出平面與平面，即可證明平面平面﹔

（2）以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，寫出B，E，C，點的坐標，再分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求出二面角的余弦值.

解：（1）存在，當F為的中點時，平面平面.

因為為正四棱柱，

所以，.

又因為平面，平面，

所以平面，

又因為E為AD的中點，F為的中點，

所以且.

連接AF，故四邊形為平行四邊形，

所以.

又因為平面，平面，

所以平面，

又因為，平面，

平面，所以平面平面.

（2）以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

又因為，，

所以，，，，

所以，，.

設平面的法向量為，則，即.

令，解得，

所以，

同理可求得平面的一個法向量為.

所以.

所以二面角的余弦值為﹒