Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，對于任意，總存在，使得，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）分類討論，求得函數的導數，利用導數與單調性的關系，即可求解；

（2）把對于任意，總存在，使得，轉化為，結合函數的單調性，分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數，

當時，，則

由，則，所以函數在上單調遞增；

當時，，則，

由，令，即，解得或，

令，即，解得，

當時，即時，

函數的單調遞減區間為，單調單調區間為；

當時，即，

函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由對于任意，總存在，使得，

等價于，

由（1）得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，，

所以，所以；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，，

當時，，則，得（舍去）；

當時，，則，即，

其中，而，所以無解，舍去.

綜上所述，.