Question

【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，貴陽一中“保護飲用水源地”課題研究小組的同學們對紅楓湖、百花湖、阿哈水庫、花溪水庫、北郊水庫5處水源地進行了樣本采集并送環保部門進行水質檢測.已知5處水源地中有1處被某污染物污染，需要通過檢測水源樣本來確定被污染的水源地現有三個檢測方案：

方案甲：對5個樣本逐個檢測，直到能確定被污染的水源地為止.

方案乙：先任取1個樣本進行檢測，若檢測到污染物，則檢測結束；若未檢測到污染物，則在剩余4個樣本中任取2個，并將這2個樣本取部分混合在一起檢測，若檢測到污染物，則再在這2個樣本中任取一個檢測，否則在剩余2個未檢測樣本中任取一個檢測.

方案丙：先任取2個樣本，并將這2個樣本取部分混合在一起檢測，若檢測到污染物，則再在這2個樣本中任取一個檢測；若未檢測到污染物，則對剩余3個未檢測樣本進行逐個檢測，直到能確定被污染的水源地為止.假設隨機變量分別表示用方案甲、方案乙、方案丙進行檢測所需的檢測次數.

（1）求能取到的最大值和其對應的概率；

（2）求的期望假設每次檢測的費用都相同，請從經濟角度說明方案乙和方案丙哪一個更適合？

Answer 1

【答案】（1）的最大值為4，；的最大值為3，；的最大值為3，（2）方案丙更適合

【解析】

（1）根據題意可分析得到用方案甲最多需檢測4次,即前3次均未檢測到污染物；用方案乙最多需檢測3次,即先任取1個樣本進行檢測時未檢測到污染物；用方案丙最多需檢測3次,即先任取2個樣本混合檢測時未檢測到污染物,且對剩余3個樣本檢測時第一次未檢測到污染物,分別求得概率即可；

（2）的可能取值為1,3,由（1）可得,即可求得；的可能取值為2,3,由（1）可得,即可求得,比較與,越小的越合適.

解:（1）用方案甲最多需檢測4次,即前3次均未檢測到污染物,

則的最大值為4,所以；

用方案乙最多需檢測3次,即先任取1個樣本進行檢測時未檢測到污染物,

則的最大值為3,；

用方案丙最多需檢測3次,即先任取2個樣本混合檢測時未檢測到污染物,且對剩余3個樣本檢測時第一次未檢測到污染物,

則的最大值為3,.

（2）的可能取值為1,3,由（1）可知,所以,

則；

的可能取值為2,3,由（1）可知,所以,

,

因為,所以方案丙所需的檢測次數期望較少,所需的檢測費用期望較低,所以方案丙更適合.