Question

【題目】設橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為A，過點A與垂直的直線交軸負半軸于點，且，若過， ， 三點的圓恰好與直線相切．過定點的直線與橢圓交于， 兩點（點在點， 之間）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若實數滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）由題意，得橢圓方程為.；（2）設直線方程為，，所以，利用韋達定理，就出的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以為的中點.設的坐標為，

因為，所以，，

且過三點的圓的圓心為，半徑為.因為該圓與直線相切，所以.

解得，所以，.

故所求橢圓方程為.

（Ⅱ/span>）①當直線斜率存在時，

設直線方程為，代入橢圓方程

得.

由，得.設，，

則，.

又，所以.所以.

所以，.

所以.所以.

整理得.因為，所以，即.所以.

解得且.

又，所以.

②又當直線斜率不存在時，直線的方程為，

此時，，，，

，所以.

所以，即所求的取值范圍是