Question

【題目】（卷號）2209028400021504

（題號）2209073114537984

（題文）

已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求的單調區間；

（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點、，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地，當時，又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問：在函數的圖象上是否存在兩點、，使得直線存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）不存在

【解析】

（Ⅰ）求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式得結果，（Ⅱ）先求導數，再根據導函數零點情況分類討論，最后根據導函數符號確定單調性，（Ⅲ）根據定義建立方程，轉化為對應函數零點問題，利用導數確定函數單調性，根據單調性確定零點滿足條件，解得結果.

（Ⅰ）當時，

（Ⅱ）

所以當時，的單調增區間為，單調減區間為，

當時，的單調增區間為和，單調減區間為，

（Ⅲ）由題意得，

所以

因為，

所以化簡得

令，

則

因此，即，也即不成立，

所以不存在兩點、，使得直線存在 “中值伴隨切線”.