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(1)已知f(x-3)=x2+3x+1,求f(x)的解析式;

(2)已知f(x)滿足f(x-)=x2+,求函數f(x)的解析式;

(3)已知函數f(x)是一次函數,且f［f(x)］=4x+1,求函數f(x)的解析式.

思路解析:解決此類問題的關鍵是找出對應關系,找對應關系常用的方法有三種,即拼湊法、換元法、待定系數法.

解:(1)方法一:拼湊法.

∵f(x-3)=x2+3x+1=(x-3)2+6x-9+3x+1=(x-3)2+9x-8=(x-3)2+9(x-3)+27-8

=(x-3)2+9(x-3)+19,

∴f(x)=x2+9x+19.

方法二:換元法.

令t=x-3,則x=t+3,

∴f(t)=(t+3)2+3(t+3)+1=t2+9t+19.

∴f(x)=x2+9x+19.

(2)設x-=t,則(x-)2=t2,∴x2+=t2+2.∴f(t)=t2+2.

∴所求函數的解析式為f(x)=x2+2.

(3)設f(x)=kx+b(k≠0),

∴f［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.

又∵對x∈R總有f［f(x)］=k2x+kb+b=4x+1,

∴

∴f(x)的解析式為f(x)=2x+,或f(x)=-2x-1.

深化升華

(1)拼湊法需要較高的變形能力,通過對已有解析式進行變形,找出對應關系;

(2)換元法是解決此類問題在邏輯上最容易接受的一種方法,通過換元找出對應關系;

(3)待定系數法在應用時,一定要弄清函數類型,切不可盲目下手.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
(3-a)x-1(x＜1)
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．

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logax
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(x≥1)
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3(x＞0)
4(x=0)
5(x＜0)
，則f[f（-1）]=
 
．

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